Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Биполярная система координат Окружности Аполлония Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония . Для перехода из биполярных координат в декартовы координаты , служат следующие формулы:
{ x = a s h τ c h τ − cos σ y = a sin σ c h τ − cos σ {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x={\frac {a\,\mathrm {sh} \,\tau }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\\y={\frac {a\sin \sigma }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\end{matrix}}\right.} где 0 ⩽ σ < π {\displaystyle 0\leqslant \sigma <\pi } − ∞ < τ < ∞ {\displaystyle -\infty <\tau <\infty }
Коэффициенты Ламе :
L τ = L σ = a 2 ( c h τ − cos σ ) 2 . {\displaystyle L_{\tau }=L_{\sigma }={\frac {a^{2}}{(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}}.} Оператор Лапласа в биполярных координатах:
Δ f = ( c h τ − cos σ ) 2 a 2 ( ∂ 2 f ∂ σ 2 + ∂ 2 f ∂ τ 2 ) . {\displaystyle \Delta f={\frac {(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}{a^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right).} В пространстве биполярные координаты обобщаются бисферическими .
