Квантор существования

Ква́нтор существова́ния (экзистенциа́льный квантифика́тор) в предикатной логике — предикат свойства или отношения для по крайней мере одного элемента из области определения. Обозначается символом логического оператора ∃ (произносится как «существует» или «для некоторого»). Квантор существования следует отличать от квантора всеобщности, так как последнее задаёт утверждение о том, что указанное свойство или отношение выполняется для всех элементов области.

Символ ${\displaystyle \exists }$ (от итал. esiste, esistono — ‘существует, существуют’) для квантора существования введён итальянским математиком Джузеппе Пеано в 1897 году^[1], а символ ${\displaystyle \forall }$, обозначающий квантор всеобщности (нем. für Alle — ‘для всех’), — в 1935 году Герхардом Генценом^[2].

Концепция была предложена ранее, в 1879 году, в книге Готлоба ФрегеBegriffsschrift («Исчисление понятий»)^[3].

Существует модификация этого квантора — квантор существования и единственности, являющийся предикатом свойства или отношения для одного и только одного элемента области определения. Обозначается ${\displaystyle \exists$ !} и читается «существует и единственный».

Выражение ${\displaystyle (\exists x\in X)P(x)}$ читается так:

• существует [значение] ${\displaystyle x}$ из [множества] ${\displaystyle X}$ такое, что [утверждение] ${\displaystyle P(x)}$ [истинно];
• утверждение ${\displaystyle P(x)}$ истинно хотя бы для некоторых [значений] ${\displaystyle x}$, принадлежащих ${\displaystyle X}$;
• существует элемент ${\displaystyle x}$ множества ${\displaystyle X}$, обладающий свойством ${\displaystyle P(x)}$;
• по крайней мере (хотя бы) один элемент ${\displaystyle x}$ множества ${\displaystyle X}$ обладает свойством ${\displaystyle P(x)}$;
• некоторые элементы множества ${\displaystyle X}$ обладают свойством ${\displaystyle P(x)}$;
• найдётся такое значение ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle X}$, что (для которого) ${\displaystyle P(x)}$ истинно.

• Квантор
• Квантор всеобщности
• Логика первого порядка