Кубический сплайн

Кубический сплайн — гладкая функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых она совпадает с некоторым кубическим многочленом (полиномом).

Функция ${\displaystyle f(x)}$ задана на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, разбитом на части ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$, ${\displaystyle a=x_{0}$. Кубическимсплайном дефекта 1 (разность между степенью многочлена и высшим порядком его непрерывной производной) называется функция${\displaystyle S(x)}$, которая:

• на каждом отрезке ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ является многочленом степени не выше третьей;
• имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке ${\displaystyle [a,b]}$;
• в точках ${\displaystyle x_{i}}$ выполняется равенство ${\displaystyle S(x_{i})=f(x_{i})}$, т. е. сплайн ${\displaystyle S(x)}$интерполирует функцию ${\displaystyle f}$в точках ${\displaystyle x_{i}}$.

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить дополнительные требования — граничные условия:

1. "Естественный сплайн" — граничные условия вида: ${\displaystyle S''(a)=S''(b)=0}$;
2. Непрерывность второй производной — граничные условия вида: ${\displaystyle S'''(a)=S'''(b)=0}$;
3. Периодический сплайн — граничные условия вида: ${\displaystyle S'(a)=S'(b)}$ и ${\displaystyle S''(a)=S''(b)}$.

Теорема: Для любой функции ${\displaystyle f}$ и любого разбиения отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ на части ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ существует ровно один естественный сплайн ${\displaystyle S_{i}(x)}$, удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

Эта теорема является следствием более общей теоремы Шёнберга-Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.

Кубические сплайны с дефектом равным 1 называются глобальными. Локальные кубические сплайны имеют непрерывной только первую производную, т. е. дефект равен 2, но они проще глобальных^[1][2].

На каждом отрезке ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}],\ i={\overline {0,N-1}}}$ функция ${\displaystyle S(x)}$ есть ряд Тейлора, усечённый до третьей степени^[3]:

${\displaystyle S_{i}(x)=\sum _{n=0}^{3}{\frac {f^{(n)}(x_{i})}{n!}}(x-x_{i})^{n}={\frac {f(x_{i})}{0!}}+{\frac {f'(x_{i})}{1!}}(x-x_{i})+{\frac {f''(x_{i})}{2!}}(x-x_{i})^{2}+{\frac {f'''(x_{i})}{3!}}(x-x_{i})^{3}}$,

коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства ${\displaystyle S_{i}(x)}$ в виде:

${\displaystyle S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i}}(x-x_{i})^{2}+{d_{i}}(x-x_{i})^{3},\quad \quad }$(1)

тогда

${\displaystyle a_{i}=S_{i}\left(x_{i}\right),\quad b_{i}=S'_{i}(x_{i}),\quad c_{i}=S''_{i}(x_{i})/2,\quad d_{i}=S'''_{i}\left(x_{i}\right)/6,\quad i={\overline {0,N-1}}.}$

Условия непрерывности функции и всех производных, до второго порядка включительно, записываются в виде

${\displaystyle S_{i}\left(x_{i}\right)=S_{i-1}(x_{i}),}$

${\displaystyle S'_{i}\left(x_{i}\right)=S'_{i-1}(x_{i}),}$

${\displaystyle S''_{i}\left(x_{i}\right)=S''_{i-1}(x_{i}),}$

где ${\displaystyle i}$ меняется от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle N-1,}$ а условия интерполяции — в виде

${\displaystyle S_{i}\left(x_{i}\right)=f(x_{i}),}$

где ${\displaystyle i}$ меняется от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle N-1,}$ и

${\displaystyle S_{N-1}\left(x_{N}\right)=f(x_{N}).}$

Обозначим${\displaystyle :\quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}\quad (i={\overline {1,N}}),\quad f_{i}=f(x_{i})\quad (i={\overline {0,N}})}$.

Для нахождения коэффициентов ${\displaystyle c_{i}}$ составляется СЛАУ с трёхдиагональной матрицей по формуле:

${\displaystyle c_{i-1}\cdot h_{i}+2\cdot c_{i}\cdot (h_{i}+h_{i+1})+c_{i+1}\cdot h_{i+1}=3\cdot \left({\frac {a_{i+1}-a_{i}}{h_{i+1}}}-{\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}\right)}$

с граничными условиями для "естественного сплайна" ${\displaystyle c_{1}-3\cdot d_{1}\cdot h_{1}=S''(x_{0})=0}$ и ${\displaystyle c_{N}=S''(x_{N})=0}$ (${\displaystyle c_{0}=c_{N-1}=0}$). Коээфициенты ${\displaystyle c_{i}}$ находятся решением трёхдиагональной СЛАУ методом прогонки Томаса. После нахождения коэффициентов ${\displaystyle c_{i}}$ сплайн можно интерполировать по формуле кубического сплайна в другом виде:

${\displaystyle S_{i}(x)={\frac {1}{6h_{i}}}[M_{i}(x_{i+1}-x)^{3}+M_{i+1}(x-x_{i})^{3}]+{\frac {1}{h_{i}}}[(y_{i}-{\frac {M_{i}h_{i}^{2}}{6}}(x_{i+1}-x)+(y_{i+1}-{\frac {M_{i+1}h_{i}^{2}}{6}})(x-x_{i})]}$,

где ${\displaystyle M_{i}=2c_{i}}$ - это вторая производная, а для интерполирования сплайна в виде многоряда Тэйлора нужно ещё вычислить коэффициенты сплайна по формулам:

${\displaystyle a_{i}=f(x_{i})}$,

${\displaystyle b_{i}={\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}-{\frac {2\cdot c_{i-1}+c_{i}}{3}}\cdot h_{i}}$,

${\displaystyle d_{i}={\frac {c_{i}-c_{i-1}}{3\cdot h_{i}}}}$.

Интерполяция производится по формуле (1). ^[4]

1. de Boor, Carl. A Practical Guide to Splines. — New York: Springer-Verlag, 1978.
2. de Boor, Carl. A Practical Guide to Splines. Revised Edition. — New York: Springer-Verlag, 2001.
3. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
4. Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам.
5. Стечкин С.Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. — М.: Главна редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1976. — 248 с.
6. Дьяконов В. П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ. Справочник. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 240 с.
7. Волков Е. А. Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 63-68. — 248 с.
8. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копчёнова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с. — ISBN 5-06-000625-5.

• Интерполяция кубическими сплайнами на JavaScript (рус.)
• Cubic Interpolation^[5]

В статье есть список источников, но не хватает сносок.

Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены.(3 сентября 2013)