Неравенство Гёльдера

В статье есть список источников, но не хватает сносок.

Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены.(7 июня 2024)

Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств ${\displaystyle L^{p}}$.

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой, а ${\displaystyle L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство функций вида ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ с конечной интегрируемой ${\displaystyle p}$‑ой степенью. Тогда в последнем определена полунорма:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p}}$,

где ${\displaystyle p\geq 1}$ , обычно подразумевается, что это натуральное число.

Пусть ${\displaystyle f\in L^{p}}$, а ${\displaystyle g\in L^{q}}$, где ${\displaystyle p,q\geq 1,\;1/p+1/q=1}$. Тогда ${\displaystyle f\cdot g\in L^{1}}$, и

${\displaystyle \|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}}$.

Переформулируем неравенство Гёльдера, выразив нормы через соответствующие интегралы.
Пусть ${\displaystyle X}$ — пространство с мерой ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle E\subset X}$, ${\displaystyle E}$ измеримо. Тогда:
${\displaystyle f\in L^{p},g\in L^{q},p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow \int \limits _{E}|fg|\,d\mu <+\infty ,\;\int \limits _{E}\left|fg\right|\,d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|g|^{q}\,d\mu \right)^{1/q}}$
Для доказательства воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):
${\displaystyle a,b\geq 0,p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow a^{1/p}b^{1/q}\leq {\dfrac {a}{p}}+{\dfrac {b}{q}}}$

Положим
${\displaystyle a={\dfrac {|f(x)|^{p}}{\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu }}\quad b={\dfrac {|g(x)|^{q}}{\int \limits _{E}|g|^{q}d\mu }}\quad I_{1}=\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu >0\quad I_{2}=\int \limits _{E}|g|^{q}d\mu >0}$

Применяя неравенство, получаем:
${\displaystyle |f(x)g(x)|\leq I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}\left({\dfrac {|f(x)|^{p}}{p\cdot I_{1}}}+{\dfrac {|g(x)|^{q}}{q\cdot I_{2}}}\right)}$

Заметим, что правая часть неравенства суммируема по множеству ${\displaystyle E}$ (отсюда вытекает и суммируемость левой части). Интегрируя неравенство по ${\displaystyle E}$, получаем:
${\displaystyle \int \limits _{E}|fg|\,d\mu \leq I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}\left({\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}\right)=I_{1}^{1/p}I_{2}^{1/q}}$
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если ${\displaystyle I_{1}}$ или ${\displaystyle I_{2}}$ равен 0, то это значит, что ${\displaystyle f}$ или ${\displaystyle g}$ эквивалентны нулю на ${\displaystyle E}$, и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.

Положив ${\displaystyle p=q=2}$, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства ${\displaystyle L^{2}}$.

Рассмотрим Евклидово пространство${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}$ или ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. ${\displaystyle L^{p}}$-норма в этом пространстве имеет вид:

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top }}$,

и тогда

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{q}\right)^{1/q},\;\forall x,y\in E}$.

Пусть ${\displaystyle X=\mathbb {N} ,\,{\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m}$ — счётная мера на ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Тогда множество всех последовательностей${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, таких что:

${\displaystyle \|x\|_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty }$,

называется ${\displaystyle l^{p}}$. Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q},\;\forall x\in l^{p},y\in l^{q}}$.

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — вероятностное пространство. Тогда ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ состоит из случайных величин с конечным ${\displaystyle p}$-м моментом: ${\displaystyle \mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty }$, где символ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

${\displaystyle \mathbb {E} |XY|\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\mathbb {E} |Y|^{q}\right)^{1/q},\;\forall X\in L^{p},Y\in L^{q}}$.

• Пространство Lp
• Неравенство Йенсена
• Гёльдер, Отто
• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского

• Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1.
• Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1973. — 352 с.

В статье есть список источников, но не хватает сносок.

Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены.(9 сентября 2013)