Особая точка (дифференциальные уравнения)

В математикеособой точкойвекторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено одинаково и очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.

Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$,

где ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})}$ — точка на плоскости, ${\displaystyle A}$ — матрица${\displaystyle 2\times 2}$. Очевидно, точка ${\displaystyle x=(0,0)}$ в случае невырожденной матрицы ${\displaystyle A}$ является единственной особой точкой такого векторного уравнения.

К этой системе также сводится однородное уравнение первого порядка ${\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {mx+ny}{ax+by}}}$, матрица ${\displaystyle A}$ которго имеет вид ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\m&n\end{pmatrix}}}$, притом устойчивые и неустойчивые особые точки не различают.^[1]

В зависимости от собственных значений матрицы ${\displaystyle A}$, различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр^[2][3].

1. ↑Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям (рус.). — Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. — С. 98—100. — 176 с. — ISBN 5-93972-008-0.
2. ↑Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (рус.). — 5-е изд. — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — С. 77—83. — ISBN 5354009553. — ISBN 9785354009558.
3. ↑Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений (рус.). — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 1949. — С. 76—82. — ISBN 9785922111447. — ISBN 5922111442.

• Теорема Пуанкаре о векторном поле

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску).

Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок.(3 марта 2023)