Суперфакториал

Суперфакториал — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. В математике, в частности в теории чисел, существует несколько определений суперфакториала.

Суперфакториал Нила Слоана и Саймона Плаффа положительного целого числа, обозначаемый ${\displaystyle \operatorname {sf} (n)}$, — это произведение вида

${\displaystyle \operatorname {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot \ldots \cdot n!}$.

Следуя обычному соглашению для пустого произведения, ${\displaystyle \operatorname {sf} (0)=1}$.

Суперфакториал может быть задан рекуррентной формулой^[1]:

${\displaystyle \operatorname {sf} (n)={\begin{cases}1&n=0,\\n!\cdot \operatorname {sf} (n-1)&n>0.\end{cases}}}$

Суперфакториал связан с G-функцией Барнса от целочисленного аргумента соотношением^[2]

${\displaystyle G(n+2)=\operatorname {sf} (n)}$

G-функция была введена для обобщения понятия cуперфакториал на множество комплексных чисел, по аналогии с гамма-функцией, которая обобщает факториал. В отличие от гамма-функции, у которой смещение от факториала равное 1, G-функция Барнса имеет смещение от суперфакториала равное 2.

• Согласно аналогу теоремы Вильсона о поведении факториалов по модулю простых чисел, для нечётного простого ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle \operatorname {sf} (p-1)\equiv (p-1)!!{\pmod {p}}}$, где ${\displaystyle !!}$ — двойной факториал.^[3]

• Для любого целого ${\displaystyle k}$, выражение ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sf} (4k)}{2k!}}}$ всегда равняется числу в квадрате.^[2]
• ${\displaystyle \operatorname {sf} (n)={\frac {(n!)^{n+1}}{\operatorname {H} (n)\cdot }}}$, где ${\displaystyle \operatorname {H} (n)}$ - гиперфакториал

Суперфакториал Клиффорда А. Пиковера положительного целого числа, обозначаемый ${\displaystyle n\$}$, — это выражение вида

${\displaystyle n\$={\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!{\text{ раз}}\end{matrix}}}$

Суперфакториал Клиффорда А. Пиковера определяется в виде тетрации

${\displaystyle n\$={}^{n!}n!}$

Данный суперфакториал является быстро растущей функцией, и принимает большие значения уже при ${\displaystyle n=3}$

Некоторые значения суперфакториала Клиффорда А. Пиковера

${\displaystyle 1\$={}^{1!}1!={}^{1}1=1=1}$

${\displaystyle 2\$={}^{2!}2!={}^{2}2=2^{2}=4}$

${\displaystyle 3\$={}^{3!}3!={}^{6}6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}}$

• Факториал
• G-функция Барнса
• Гиперфакториал

• Суперфакториал на mathworld