Условное распределение

Пусть ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ и ${\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ — случайные величины, такие, что случайный вектор ${\displaystyle (X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}}$ имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности${\displaystyle p_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}}$. Пусть ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ такой, что ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=y_{0})>0}$. Тогда функция

${\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y_{0})={p_{X,Y}(x,y_{0}) \over p_{Y}(y_{0})},\;x\in \mathbb {R} ^{m}}$,

где ${\displaystyle p_{Y}}$ — функция вероятности случайной величины ${\displaystyle Y}$, называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины ${\displaystyle X}$ при условии, что ${\displaystyle Y=y_{0}}$. Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

Пусть ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ и ${\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ — случайные величины, такие что случайный вектор ${\displaystyle (X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}}$ имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности${\displaystyle f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}}$. Пусть ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ таково, что ${\displaystyle f_{Y}(y_{0})>0}$, где ${\displaystyle f_{Y}}$ — плотность случайной величины ${\displaystyle Y}$. Тогда функция

${\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}}$

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины ${\displaystyle X}$ при условии, что ${\displaystyle Y=y_{0}}$. Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Если ${\displaystyle A}$ — счётное подмножество${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, то

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\sum \limits _{x\in A}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})}$.

Если ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})}$ — борелевское подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, то полагаем по определению

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx}$.

Замечание.Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=y_{0})=0}$.

• Условное математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle X}$ при условии ${\displaystyle Y=y_{0}}$ получается суммированием относительно условного распределения:

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\sum \limits _{x}x\,p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})}$.

• Условное математическое ожидание ${\displaystyle X}$ при условии случайной величины ${\displaystyle Y}$ — это третья случайная величина ${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y]}$, задаваемая равенством

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega }$.

• Условное математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle X}$ при условии ${\displaystyle Y=y_{0}}$ получается интегрированием относительно условного распределения:

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx}$.

• Условное математическое ожидание ${\displaystyle X}$ при условии случайной величины ${\displaystyle Y}$ — это третья случайная величина ${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y]}$, задаваемая равенством

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega }$.