Эллиптическая система координат

Эллиптические координаты — двумерная ортогональнаясистема координат, в которой координатными линиями являются конфокальныеэллипсы и гиперболы. За два фокуса ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ обычно берутся точки ${\displaystyle -c}$ и ${\displaystyle +c}$ на оси ${\displaystyle X}$декартовой системы координат.

Эллиптические координаты ${\displaystyle (\mu ,\;\nu )}$ обычно определяются по правилу:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=c\,\mathrm {ch} \,\mu \cos \nu \\y=c\,\mathrm {sh} \,\mu \sin \nu \end{matrix}}\right.}$

где ${\displaystyle \mu \geqslant 0}$, ${\displaystyle \nu \in [0,\;2\pi )}$.

Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}\,\mathrm {ch} ^{2}\,\mu }}+{\frac {y^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

показывает, что линии уровня ${\displaystyle \mu }$ являются эллипсами, а тождество из гиперболической геометрии

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{c^{2}\sin ^{2}\nu }}=\mathrm {ch} ^{2}\,\mu -\mathrm {sh} ^{2}\,\mu =1}$

показывает, что линии уровня ${\displaystyle \nu }$ являются гиперболами.

Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат ${\displaystyle (\sigma ,\;\tau )}$:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sigma =\mathrm {ch} \,\mu \\\tau =\cos \nu \end{matrix}}\right.}$

Таким образом, линии уровня ${\displaystyle \sigma }$ являются эллипсами, а линии уровня ${\displaystyle \tau }$ являются гиперболами. При этом

${\displaystyle \tau \in [-1,\;1],\quad \sigma \geqslant 1.}$

Координаты ${\displaystyle (\sigma ,\;\tau )}$ имеют простую связь с расстояниями до фокусов ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$. Для любой точки на плоскости

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}d_{1}+d_{2}=2c\sigma \\d_{1}-d_{2}=2c\tau \end{matrix}}\right.}$

где ${\displaystyle d_{1},\;d_{2}}$ — расстояния до фокусов ${\displaystyle F_{1},\;F_{2}}$ соответственно.

Таким образом:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}d_{1}=c(\sigma +\tau )\\d_{2}=c(\sigma -\tau )\end{matrix}}\right.}$

Напомним, что ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ находятся в точках ${\displaystyle x=-c}$ и ${\displaystyle x=+c}$ соответственно.

Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=c\sigma \tau \\y^{2}=c^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})\end{matrix}}\right.}$

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.

• Окружность Аполлония