Якобиан

Эту страницу предлагается объединить со страницей Матрица Якоби.

Пояснение причин и обсуждение — на странице Википедия:К объединению/7 мая 2020.
Обсуждение длится не менее недели (подробнее). Не удаляйте шаблон до подведения итога обсуждения.

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.

Якобиан выражается как определительматрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения.

Якобиан отображения ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ обычно обозначается ${\displaystyle \mathop {\rm {Jac}} \nolimits _{x}f}$, иногда также следующим образом:

${\displaystyle {\frac {D(f_{1},\dots ,f_{n})}{D(x_{1},\dots ,x_{n})}}}$ , или ${\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}}$

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель. По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю^[1].

Введён Якоби (1833, 1841).

Якобиан векторной функции${\displaystyle \mathbf {u}$ :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,n} , имеющей в некоторой точке ${\displaystyle x}$ все частные производные первого порядка, определяется как

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{n} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{n} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{n} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}.}$

Также можно говорить об определителе Якоби или якобиане системы функций ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$.

Если функции ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\ldots ,{\tilde {x}}_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ определяют преобразование координат ${\displaystyle x_{i}\rightarrow {\tilde {x}}_{j}}$, то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов^[2] параллелепипедов, «натянутых» на ${\displaystyle d{\tilde {x}}_{1},d{\tilde {x}}_{2},\dots ,d{\tilde {x}}_{n}}$ и на ${\displaystyle dx_{1},dx_{2},\dots ,dx_{n}}$ при равенстве произведений ${\displaystyle d{\tilde {x}}_{1}d{\tilde {x}}_{2}\dots d{\tilde {x}}_{n}=dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$.

• Якобиан часто применяется при анализе неявных функций.
• Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
• Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат ${\displaystyle {\tilde {x}}_{j}\rightarrow x_{i}}$ преобразуется как

  ${\displaystyle \int \limits _{\tilde {\Omega }}f({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n})d{\tilde {x}}_{1}d{\tilde {x}}_{2}\dots d{\tilde {x}}_{n}=}$

  ${\displaystyle =\int \limits _{\Omega }f({\tilde {x}}_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),{\tilde {x}}_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,{\tilde {x}}_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})){\bigg |}{\frac {D({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n})}{D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$

  (формула замены переменных в n-мерном интеграле).

Пример 1. Переход элементарной площади ${\displaystyle \mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$ от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):

${\displaystyle x=r\,\cos \varphi }$

${\displaystyle y=r\,\sin \varphi .}$

Матрица Якоби имеет следующий вид

${\displaystyle {\hat {I}}(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}.}$

А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:

${\displaystyle J(r,\varphi )=\det {\hat {I}}(r,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\,\sin \varphi \\\sin \varphi &r\,\cos \varphi \end{bmatrix}}=r.}$

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {d} S=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=J(r,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi =r\,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }$

Пример 2. Переход элементарного объёма ${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}$ от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :

${\displaystyle x=r\,\sin \theta \,\cos \varphi }$

${\displaystyle y=r\,\sin \theta \,\sin \varphi }$

${\displaystyle z=r\,\cos \theta .}$

Матрица Якоби имеет следующий вид

${\displaystyle {\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}$

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:

${\displaystyle J(r,\theta ,\varphi )=\det {\hat {I}}(r,\theta ,\varphi )=\det {\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r\,\cos \theta \,\cos \varphi &-r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\,\cos \theta \,\sin \varphi &r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}=r^{2}\sin \theta .}$

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$

• Абсолютное значение якобиана в некоторой точке ${\displaystyle x}$ равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки ${\displaystyle x}$ к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
• Якобиан в точке ${\displaystyle x}$ положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
• Если якобиан отображения не обращается в нуль в области ${\displaystyle \Delta }$, то отображение ${\displaystyle \Delta }$ является локальным диффеоморфизмом.

Применение в физике

• Соотношения Бриджмена (термодинамика) и Соотношения Максвелла (термодинамика) выводятся с применением техники якобианов

У этой статьи есть 2 проблемы, помогите их исправить:

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску).

Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок.(23 сентября 2009)

В статье есть список источников, но не хватает сносок.

Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены.(28 октября 2009)

Пожалуйста, после исправления проблемы удалите соответствующий шаблон. Узнать, как это сделать, можно на справочной странице.